Inhalt

Grundlegende Techniken der kommutativen Algebra und ihren Bezügen zur algebraischen Geometrie: Ringe, Ideale, Moduln, Primideale, Spektrum, Lokalisation, Kettenbedingungen, Dimensionstheorie, Primärzerlegung, Ganzheit, Dedekind-Ringe.
Die Vorlesung legt Grundlagen für algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie, Computeralgebra und auch Darstellungstheorie.

Termine

Die Vorlesung findet Mittwochs 9:45–11:15 und Freitags 9:45–11:15 in Raum 8.143 statt. Die Übung findet Freitags 11:30–13:00 ebenfalls in Raum 8.143 statt.

Vorlesungsplan

Den folgenden Plan aktualisiere ich im Laufe des Semesters. Meine Notizen gibt es hier immer nach der Vorlesung.

Anmerkung: Ich habe eine aktualisierte Version der Vorlesungsnotizen (auf Englisch).

#TerminInhaltNotizen
119.10.0. Überblick
1. Wiederholung: Ringe
1.1 Ringe und Morphismen
1.2 Einheiten
1.3 Unterringe
1.4 Algebren
1.5 Beispiele
1.6 Produkte
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221.10.1.6 Produkte (Fortsetzung)
1.7 Ideale
1.8 Hauptidealringe
1.9 Quotienten
1.10 Ideale unter Morphismen
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326.10.1.11 Nilpotente Elemente
1.12 Annihilatoren und Nullteiler
2. Primspektrum
2.1 Primideale
2.2 Maximale Ideale
2.3 Minimale Ideale
2.4 Radikale
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428.10.2.4 Radikale (Fortsetzung)
2.5 Algebraische Geometrie (Ergänzung)
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502.11.2.5 Zariski-Topologiepdf
604.11.2.5 Zariski-Topologie (Fortsetzung)
3. Moduln
3.1 Moduln
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709.11.3.2 Konstruktionen mit Moduln
3.3 Erzeugendensysteme
3.4 Freie Moduln
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811.11.3.5 Endlich erzeugte Modulnpdf
916.11.3.6 Tensorprodukte
3.7 Skalarerweiterung
3.8 Flache Moduln
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1018.11.4. Lokalisierung
4.1 Quotientenkörper
4.2 Lokalisierung von Ringen
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1123.11.4.2 Lokalisierung von Ringen (Fortsetzung)
4.3 Lokalisierung von Moduln
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1225.11.4.3 Lokalisierung von Moduln (Fortsetzung)pdf
1330.11.4.4 Lokale Eigenschaftenpdf
1402.12.5. Ganzheit
5.1 Ganze Elemente
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1507.12.5.1 Ganze Elemente (Fortsetzung)
5.2 Normale Bereiche
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1609.12.5.3 Fasern
5.4 Primideale in ganzen Ringerweiterungen
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1714.12.6. Nullstellensatzpdf
1816.12.6. Nullstellensatz (Fortsetzung)pdf
1921.12.7. Kettenbedingungen
7.1 Allgemeines
7.2 Noethersche Moduln
7.3 Noethersche Ringe
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23.12.–07.01.Weihnachtsferien
2011.01.7.4 Artinsche Moduln
7.5 Länge von Moduln
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2113.01.7.6 Artinsche Ringepdf
2218.01.8. Dimensionstheorie
8.1 Krull-Dimension
8.2 Krull-Dimension von Polynomringen über Körpern
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2320.01.8.3 Kodimensionpdf
2425.01.8.4 Transzendenzgrad
8.5 Transzendenzgrad und Krull-Dimension
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2527.01.8.6 Bi-Äquidimensionalität von Polynomringen über Körpern
8.7 Krulls Hauptidealsatz
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2601.02.8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung)pdf
2703.02.8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung)pdf
2808.02.9. Dedekind Ringe
10. Primärzerlegung
10.1 Primärideale
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2910.02.10.2 Eindeutigkeit von Primärzerlegungen
10.3 Existenz von Primärzerlegungen
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Übungsaufgaben

#DatumThema
119.10Ringe, Ringmorphismen
221.10Ideale, Polynomringe
328.10.Primideale, Radikale, Kategorien
404.11.Zariski-Topologie, Moduln, exakte Sequenzen
511.11.Frei, torsionsfrei, divisibel, Erzeugendensysteme,
618.11.Tensorprodukt, projektiv, flach
725.11.Lokalisierung, Tensorprodukt, Dualmodul,
Halbzeit-Test02.12.Alles
802.12.Lokale Eigenschaften, endlich erzeugt und projektiv aber nicht flach,
9, Musterlösung09.12.Normalisierung, ganze Ringerweiterungen
1016.12.Noethersche Ringe/Moduln, Jacobson Ringe, klassische algebraische Geometrie
1113.01.Noethersch, artinsch, Schnittmultiplizität ebener Kurven
1220.01.Krull-Dimension, Gegenbeispiel zu Bi-äquidimensionalität
1327.01.Dimension, Kodimension, diskrete Bewertungsringe
1403.02.Reguläre Ringe, reguläre Sequenzen

Literatur

Hier ist eine (ungefilterte) Liste von Lehrbüchern über die Grundlagen der kommutativen Algebra:

  • M. Atiyah and I. Macdonald, Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
  • N. Bourbaki, Commutative algebra. Chapters 1–7. Elements of Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
  • D. Eisenbud, Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, 1995.
  • H. Matsumura, Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, 1989.
  • M. Nagata, Local rings. Corrected reprint. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, 1975.
  • R. Sharp, Steps in commutative algebra. Cambridge University Press, 1990.
    Stacks project

Die (meiner Meinung nach) für den Einstieg nützlichsten Bücher sind die von Atiyah–Macdonald (sehr knapp, enthält aber trotzdem eigentlich alles) und von Eisenbud (sehr ausführlich und mit vielen Kommentaren zu geometrischen Bezügen; für den Anfang vielleicht schon etwas zu viel…). Das Buch von Sharp kannte ich nicht vor der Vorlesung, ich finde es aber auch sehr nützlich, denn es ist etwas ausführlicher geschrieben als Atiyah–Macdonald. Wem also Atiyah–Macdonald etwas zu knapp und schnell ist, sollte es hiermit versuchen. Bourbaki ist sehr allgemein und wenig motivierend, daher für den Anfang wahrscheinlich schwierig zu lesen, später aber eine sehr nützliche Referenz.