Inhalt
Grundlegende Techniken der kommutativen Algebra und ihren Bezügen zur algebraischen Geometrie: Ringe, Ideale, Moduln, Primideale, Spektrum, Lokalisation, Kettenbedingungen, Dimensionstheorie, Primärzerlegung, Ganzheit, Dedekind-Ringe.
Die Vorlesung legt Grundlagen für algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie, Computeralgebra und auch Darstellungstheorie.
Termine
Die Vorlesung findet Mittwochs 9:45–11:15 und Freitags 9:45–11:15 in Raum 8.143 statt. Die Übung findet Freitags 11:30–13:00 ebenfalls in Raum 8.143 statt.
Vorlesungsplan
Den folgenden Plan aktualisiere ich im Laufe des Semesters. Meine Notizen gibt es hier immer nach der Vorlesung.
Anmerkung: Ich habe eine aktualisierte Version der Vorlesungsnotizen (auf Englisch).
# | Termin | Inhalt | Notizen |
---|---|---|---|
1 | 19.10. | 0. Überblick 1. Wiederholung: Ringe 1.1 Ringe und Morphismen 1.2 Einheiten 1.3 Unterringe 1.4 Algebren 1.5 Beispiele 1.6 Produkte | |
2 | 21.10. | 1.6 Produkte (Fortsetzung) 1.7 Ideale 1.8 Hauptidealringe 1.9 Quotienten 1.10 Ideale unter Morphismen | |
3 | 26.10. | 1.11 Nilpotente Elemente 1.12 Annihilatoren und Nullteiler 2. Primspektrum 2.1 Primideale 2.2 Maximale Ideale 2.3 Minimale Ideale 2.4 Radikale | |
4 | 28.10. | 2.4 Radikale (Fortsetzung) 2.5 Algebraische Geometrie (Ergänzung) | |
5 | 02.11. | 2.5 Zariski-Topologie | |
6 | 04.11. | 2.5 Zariski-Topologie (Fortsetzung) 3. Moduln 3.1 Moduln | |
7 | 09.11. | 3.2 Konstruktionen mit Moduln 3.3 Erzeugendensysteme 3.4 Freie Moduln | |
8 | 11.11. | 3.5 Endlich erzeugte Moduln | |
9 | 16.11. | 3.6 Tensorprodukte 3.7 Skalarerweiterung 3.8 Flache Moduln | |
10 | 18.11. | 4. Lokalisierung 4.1 Quotientenkörper 4.2 Lokalisierung von Ringen | |
11 | 23.11. | 4.2 Lokalisierung von Ringen (Fortsetzung) 4.3 Lokalisierung von Moduln | |
12 | 25.11. | 4.3 Lokalisierung von Moduln (Fortsetzung) | |
13 | 30.11. | 4.4 Lokale Eigenschaften | |
14 | 02.12. | 5. Ganzheit 5.1 Ganze Elemente | |
15 | 07.12. | 5.1 Ganze Elemente (Fortsetzung) 5.2 Normale Bereiche | |
16 | 09.12. | 5.3 Fasern 5.4 Primideale in ganzen Ringerweiterungen | |
17 | 14.12. | 6. Nullstellensatz | |
18 | 16.12. | 6. Nullstellensatz (Fortsetzung) | |
19 | 21.12. | 7. Kettenbedingungen 7.1 Allgemeines 7.2 Noethersche Moduln 7.3 Noethersche Ringe | |
23.12.–07.01. | Weihnachtsferien | ||
20 | 11.01. | 7.4 Artinsche Moduln 7.5 Länge von Moduln | |
21 | 13.01. | 7.6 Artinsche Ringe | |
22 | 18.01. | 8. Dimensionstheorie 8.1 Krull-Dimension 8.2 Krull-Dimension von Polynomringen über Körpern | |
23 | 20.01. | 8.3 Kodimension | |
24 | 25.01. | 8.4 Transzendenzgrad 8.5 Transzendenzgrad und Krull-Dimension | |
25 | 27.01. | 8.6 Bi-Äquidimensionalität von Polynomringen über Körpern 8.7 Krulls Hauptidealsatz | |
26 | 01.02. | 8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung) | |
27 | 03.02. | 8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung) | |
28 | 08.02. | 9. Dedekind Ringe 10. Primärzerlegung 10.1 Primärideale | |
29 | 10.02. | 10.2 Eindeutigkeit von Primärzerlegungen 10.3 Existenz von Primärzerlegungen |
Übungsaufgaben
# | Datum | Thema |
---|---|---|
1 | 19.10 | Ringe, Ringmorphismen |
2 | 21.10 | Ideale, Polynomringe |
3 | 28.10. | Primideale, Radikale, Kategorien |
4 | 04.11. | Zariski-Topologie, Moduln, exakte Sequenzen |
5 | 11.11. | Frei, torsionsfrei, divisibel, Erzeugendensysteme, |
6 | 18.11. | Tensorprodukt, projektiv, flach |
7 | 25.11. | Lokalisierung, Tensorprodukt, Dualmodul, |
Halbzeit-Test | 02.12. | Alles |
8 | 02.12. | Lokale Eigenschaften, endlich erzeugt und projektiv aber nicht flach, |
9, Musterlösung | 09.12. | Normalisierung, ganze Ringerweiterungen |
10 | 16.12. | Noethersche Ringe/Moduln, Jacobson Ringe, klassische algebraische Geometrie |
11 | 13.01. | Noethersch, artinsch, Schnittmultiplizität ebener Kurven |
12 | 20.01. | Krull-Dimension, Gegenbeispiel zu Bi-äquidimensionalität |
13 | 27.01. | Dimension, Kodimension, diskrete Bewertungsringe |
14 | 03.02. | Reguläre Ringe, reguläre Sequenzen |
Literatur
Hier ist eine (ungefilterte) Liste von Lehrbüchern über die Grundlagen der kommutativen Algebra:
- M. Atiyah and I. Macdonald, Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
- N. Bourbaki, Commutative algebra. Chapters 1–7. Elements of Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
- D. Eisenbud, Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, 1995.
- H. Matsumura, Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, 1989.
- M. Nagata, Local rings. Corrected reprint. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, 1975.
- R. Sharp, Steps in commutative algebra. Cambridge University Press, 1990.
Stacks project
Die (meiner Meinung nach) für den Einstieg nützlichsten Bücher sind die von Atiyah–Macdonald (sehr knapp, enthält aber trotzdem eigentlich alles) und von Eisenbud (sehr ausführlich und mit vielen Kommentaren zu geometrischen Bezügen; für den Anfang vielleicht schon etwas zu viel…). Das Buch von Sharp kannte ich nicht vor der Vorlesung, ich finde es aber auch sehr nützlich, denn es ist etwas ausführlicher geschrieben als Atiyah–Macdonald. Wem also Atiyah–Macdonald etwas zu knapp und schnell ist, sollte es hiermit versuchen. Bourbaki ist sehr allgemein und wenig motivierend, daher für den Anfang wahrscheinlich schwierig zu lesen, später aber eine sehr nützliche Referenz.