Wie schon in den vergangenen Semestern, wird auch dieses Semester wieder rein digital. Aber machen wir das beste daraus!
Zum Format der Vorlesung habe ich mir folgendes überlegt. Grundlage ist ein Skript (verfügbar im entsprechenden OLAT-Kurs, dazu meine Videos, meine kommentierte Version aus den Videos, und meine separaten Kommentare). Das Skript habe ich im Plan unten in sehr verdauliche wöchentliche Teile über das Semester zerlegt und nach diesem Plan sollen Sie sich das Material erarbeiten. Ich werde wöchentlich ein kurzes Übersichtsvideo machen, in dem ich den Inhalt der Woche zusammenfasse und evtl. kritische Stellen kommentiere. Darüber hinaus biete ich wöchentlich, jeden Montag um 14:00 – 15:00, eine virtuelle Sprechstunde in BigBlueButton an. Ich erkläre und helfe Ihnen gerne bei allem (gerne auch über die Vorlesung hinaus oder zu vorhergehenden Kapiteln), nur kann ich natürlich keine 90 Minuten Einzelvorlesung halten. Wie bei einer echten Sprechstunde müssen Sie evtl. in der Schlange etwas warten, aber ich denke, es wird sich im Rahmen halten. Wird die Schlange zu lang, mache ich einfach eine offene Sprechstunde daraus.
Inhalt
Ich habe die "Elementare Zahlentheorie" bisher noch nicht gehalten, aber ich finde den Inhalt hervorragend, da er von einem roten Faden durchzeichnet ist wie ihn sonst nur wenige Vorlesungen zu bieten haben. Die elementare Zahlentheorie behandelt Fragestellungen über Zahlen, die sich in elementarer Weise formulieren lassen (das "elementar" bezieht sich also keineswegs darauf, dass die Fragestellungen "einfach" sind, sondern nur "einfach zu formulieren" sind!). Eine typische solche Fragestellung ist: wann lässt sich eine natürliche Zahl als Summe von Quadraten von natürlichen Zahlen darstellen? Allgemeiner geht es um die Existenz ganzzahliger Lösungen von algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten (die sogenannten Diophantischen Gleichungen). Obwohl diese Fragestellungen bereits mit Kenntnissen der Schulmathematik formuliert und verstanden werden können, werden Sie entdecken, dass ihre Lösung (sofern überhaupt bekannt!) oft keineswegs elementar ist, sondern zu allgemeinen mathematischen Methoden führen, die plötzlich nicht nur für ein spezielles Problem von Nützen sind, sondern auch für ganz andere Fragestellungen und gar eine Art "Eigenleben" entwickeln.
Im Einzelnen werden Sie – durchgehend motiviert durch das "Summe von Quadrate"-Problem – folgende Themen erlernen:
- (Lineare) Diophantische Gleichungen
- Eulersche phi-Funktion, Struktur der primen Restklassengruppe (ℤ/nℤ)*,
- Gaußsches Reziprozitätsgesetz,
- Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten.
Die finale Lösung des "Summe von Quadrate"-Problem ist schließlich gegeben durch das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlkörper.
Plan
Wir machen ganz einfach 5 Seiten pro Woche; bitte lesen Sie aber Beweise etc. jeweils zu Ende.
| Woche | Datum | Seiten | Übungsblatt |
| 1 | 19.04. – 23.04. | 4–8 | Blatt 1 (aktualisiert am 22.04.2021) |
| 2 | 26.04. – 30.04. | 9–13 | |
| 3 | 03.05. – 07.05. | 14–18 | Blatt 2 |
| 4 | 10.05. – 14.05. | 19–23 | |
| 5 | 17.05. – 21.05. | 24–28 | Blatt 3 (aktualisiert am 25.05.2021) |
| 6 | 24.05. – 28.05. | 29–33 | |
| 7 | 31.05. – 04.06. | 34–38 | Blatt 4 |
| 8 | 07.06. – 11.06. | 39–43 | |
| 9 | 14.06. – 18.06. | 44–48 | Blatt 5 (aktualisiert am 17.06.2021) |
| 10 | 21.06. – 25.06. | 49–53 | |
| 11 | 28.06. – 02.07. | 54–58 | Blatt 6 |
| 12 | 05.07. – 09.07. | 59–63 | |
| 13 | 12.07. – 16.07. | 64–68 | |
| 14 | 19.07. – 23.07. | 69–70 |