Inhalt

In der Vorlesung werden einführende Konzepte und weitere Grundlagen der Zahlentheorie, Gruppentheorie, Ringtheorie und Linearen Algebra vermittelt. Dabei sollen folgende Ziele erreicht werden: Sie sollen einen guten Zugang zu der deduktiven Herangehensweise der Mathematik entwickeln, Sie sollen ein auch für weitere Studien grundlegendes Verständnis der betrachteten mathematischen Konzepte bekommen und Sie sollen einen Einblick in die direkten Anwendungen am Beispiel von kryptographischen Verfahren und fehlerkorrigierenden Codes erhalten.

Die Vorlesung gliedert sich in mehrere Abschnitte.

• Grundkonstruktionen: Wir werden mit einer Einführung zu den Begriffen der Mengen, Relationen und Abbildungen starten. Zusätzlich besprechen wir grundlegende Techniken, zum Beispiel vollständige Induktion.
• Zahlen: Wir führen den Ring der ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen auf den natürlichen Zahlen ein und konstruieren daraus den Körper der rationalen Zahlen. Basierend auf dem Begriff der Primzahl beweisen wir den Fundamentalsatz der Arithmetik. Außerdem führen wir den euklidischen Algorithmus ein. Wir werden verstehen simultane Kongruenzen mittels chinesischem Restsatz zu lösen.
• Gruppen: Wir starten mit Grundbegriffen der Gruppentheorie und schauen uns dann genauer Permutationsgruppen und allgemeine Operationen von Gruppen auf Mengen an. Schließlich definieren wir den Begriff des Normalteilers und der Quotientengruppe, um dann den Homomorphiesatz zu beweisen. 
• Ringe: Nach einer grundlegenden Einführung betrachten wir Polynomringe sowie Z/nZ genauer. Letztlich führen wir die Eulersche Phi-Funktion ein und können den kleinen Satz von Fermat beweisen. Damit sind wir für die ersten grundlegenden Anwendungen gerüstet: RSA-Verschlüsselung und Diffie-Hellman Schlüsselaustausch. Weitere Themen dieses Abschnitts sind Ideale, euklidische Ringe und der verallgemeinerte Chinesische Restsatz. Dadurch gelangen wir zu weiteren Anwendungen: Modulares Rechnen und Lagrange-Interpolation.
• Vektorräume: Dieser letzte Abschnitt der Vorlesung ist so grundlegend, dass er auch als eigenständiger Teil betrachtete werden kann. Er bietet eine Einführung in die lineare Algebra, die wiederum als Theorie der linearen Gleichungsysteme und der Vektorräume verstanden werden kann. Wir starten mit dem Gauß-Algorithmus für homogene lineare Gleichungssysteme, um über deren Lösungsräume den Begriff des Vektorraums zu motivieren. Diesen ergänzen wir durch Basis und Dimension. Wir betrachten strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen (Homomorphismen) und führen Matrizen als Darstellungsform derer ein. Auf dieser Grundlage können wir den Gauß-Algorithmus von einem abstrakten Standpunkt aus betrachten. Schließlich wollen wir Vektorraumhomorphismen modulo Basiswechsel klassifizieren und den Homomorphiesatz beweisen. Damit gelangen wir zum zweiten großen Anwendungsblock der Vorlesung: Wir können fehlerkorrigierende Codes für das Versenden von Nachrichten entwickeln. Wir schließen den Abschnitt und die Vorlesung mit dem Begriff der Determinanten und führen Eigenvektoren und Eigenwerte ein.

Skript

Die Vorlesung wird dem Skript von Dr. Janko Böhm folgen.

Plan

Woche	Datum	Abschnitte	Inhalt	Übungen	Sonstiges
01	25.04.–29.04.	1.1–1.4 (Seiten 1–17)	Grundlagen: – Mengen – vollständge Induktion – Relationen – Abbildungen	In dieser Woche finden noch keine Übungen statt
02	02.05.–06.05.	1.5–2.3 (Seiten 18–37)	Grundlagen: – Ordnungs- und Äquivalenzrelationen Ganze Zahlen: – Division mit Rest – Primfaktorzerlegung – ggT/kgV – erweiterter Euklidischer Algorithmus	Blatt 0 wird in den Übungen bearbeitet Abgabe Blatt 1 bis 06.05.
03	09.05.–13.05.	2.4–3.2.11  (Seiten 38–56)	Ganze Zahlen:  – Primfaktorisierungsverfahren – Chinesischer Restsatz Gruppen: – Untergruppen – Definition Gruppenhomomorphismus	Besprechung Blatt 1 Abgabe Blatt 2 bis 13.05.
04	16.05.–20.05.	3.2.12–3.2.39 (Seiten 56–71)	Gruppen: – Homomorphismen – zyklische Gruppen – Gruppenoperationen	Besprechung Blatt 2 Abgabe Blatt 3 bis 20.05.
05	23.05.–27.05.	Rest von 3.2 (Seiten 71–84)	Gruppen: – Links-Nebenklassen – Indexformel – Bahnengleichung – Anwendung: Aufzählung von Graphen	Besprechung Blatt 3 Abgabe Blatt 4 bis 27.05.	26.05. ist ein Feiertag, es finden keine Übungen statt. Ausweichtermine können entweder mit den Übungsleiter*innen besprochen werden, oder es können die Online-Übung bzw. die Mittwochs-Übungen besucht werden
06	30.05.–03.06.	3.3–4.2 (Seiten 84–108)	Gruppen: – Normalteiler einer Gruppe – Homomorphiesatz Ringe: – Ringhomomorphismen	Besprechung Blatt 4 Abgabe Blatt 5 bis 03.06.
07	06.06.–10.06.	4.3–4.7 (Seiten 108–120)	Ringe: – Z/nZ als Ring – der kleine Satz von Fermat – Pollards Primfaktorisierungsverfahren – RSA- und Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch	Besprechung Blatt 5 Abgabe Blatt 6 bis 10.06.
08	13.06.–17.06.	4.8–4.12 (Seiten 121–134)4.13 (Seiten 134-137)	Ringe: – Integritätsringe – Euklidische Ringe – Hauptidealringe – Chinesischer Restsatz allgemein	Besprechung Blatt 6 Abgabe Blatt 7 bis 17.06.	16.06. ist ein Feiertag, es finden keine Übungen statt. Ausweichtermine können entweder mit den Übungsleiter*innen besprochen werden, oder es können die Online-Übung bzw. die Mittwochs-Übungen besucht werden Die Anwendung zur Interpolation wird nicht in dieser Vorlesung behandelt
09	20.06.–24.06.	5.1–5.3 (Seiten 138–164)	Vektorräume: – lineare homogene Gleichungssysteme – Lösungsräume – Basis	Besprechung Blatt 7 Abgabe Blatt 8 bis 24.06.	Zusätzlich zum Übungsblatt wird eine Probeklausur zur Verfügung gestellt. Diese ist dazu da, den Aufbau der Klausur einzuschätzen. Die Bearbeitung ist freiwillig und zählt nicht zur Klausurzulassung. Die Probeklausur kann gleichzeitig mit dem Blatt abgegeben werden und wird dann korrigiert.
10	27.06.–01.07.	5.4–5.6 (Seiten 165–184)	Vektorräume: – Vektorraumhomomorphismen – inhomogene lineare Gleichungsysteme	Besprechung Blatt 8 Abgabe Blatt 9 bis 01.07.
11	04.07.–08.07.	5.7–5.9 (Seiten 184–200)	Vektorräume: – darstellende Matrix eines Vektorraumhomomorphismus – Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen – invertierbare Matrizen,  Isomorphismen	Besprechung Blatt 9 Abgabe Blatt 10 bis 08.07.
12	11.07.–15.07.	5.10–5.12 (Seiten 200–206)	Vektorräume: – Basiswechsel  – Klassifikation von Homomorphismen – Homomorphiesatz	Besprechung Blatt 10 Abgabe Blatt 11 bis 15.07.
13	18.07.–22.07.	5.13–5.14 (Seiten 207–226)	Vektorräume: – Determinanten – lineare Codes	Besprechung Blatt 11 Abgabe Blatt 12 bis 22.07.
14	25.07.–29.07.	5.15 (Seiten 227–236)	Vektorräume: – Page-Rank-Algorithmus – Eigenvektoren	Besprechung Blatt 12